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En géométrie différentielle, une structure presque complexe sur une variété différentielle réelle est la donnée d'une structure d'espace vectoriel complexe sur chaque espace tangent.

• Définition formelle

• Exemples

• Formes différentielles

• Voir aussi

Une structure presque complexe J sur une variété différentielle M est un champ d'endomorphismes J, c'est-à-dire une section globale du fibré vectoriel E n d ( T M ) {\displaystyle \mathrm {End} (TM)} , vérifiant :

∀ ∀ x ∈ ∈ M , J x 2 = − − I d T x M . {\displaystyle \forall x\in M,J_{x}^{2}=-\mathrm {Id} _{T_{x}M}.}

Une variété différentielle munie d'une structure presque complexe est appelée une variété presque complexe.

Théorème — L'existence d'une structure presque complexe J sur une variété différentielle M implique que M soit de dimension paire et orientable.

Donc, pour qu'il existe une structure presque complexe, il faut que la variété soit de dimension paire et orientable. Mais cette condition à elle seule ne suffit pas :

Théorème — L'existence d'une structure presque complexe sur une variété différentielle orientable de dimension 2 n {\displaystyle 2n} équivaut à la réduction du groupe structural du fibré tangent de G L ( 2 n , R ) {\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )} à G L ( n , C ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )} .

Les seules sphères à admettre une structure presque complexe sont :

• La sphère S 2 {\displaystyle S^{2}} , vue comme le compactifié de C {\displaystyle \mathbb {C} } .

• La sphère S 6 {\displaystyle S^{6}} , vue comme la sphère unité des octonions imaginaires.

Algèbre linéaire : un opérateur linéaire A ∈ ∈ G L ( n , R ) {\displaystyle A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )} vérifiant l'identité A 2 = − − I n {\displaystyle A^{2}=-\mathrm {I} _{n}} se réduit sur C n = R n ⊗ ⊗ R C {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } . Il admet deux espaces propres, E + {\displaystyle E^{+}} et E − − {\displaystyle E^{-}} , de valeurs propres respectives i {\displaystyle i} et − − i {\displaystyle -i} .

Structures presque complexes : T M ⊗ ⊗ R C = T + M ⊕ ⊕ T − − M . {\displaystyle TM\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =T^{+}M\oplus T^{-}M.}

Les formes différentielles sont les sections des produits extérieurs du fibré cotangent: Ω Ω r ( M ) ⊗ ⊗ R C = ⨁ ⨁ r + q = p Ω Ω r , q ( M ) . {\displaystyle \Omega ^{r}(M)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\bigoplus _{r+q=p}\Omega ^{r,q}(M).}

• Structure hermitienne

• Algèbre linéaire

• Géométrie symplectique

• Structure presque quaternionique

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